【正确答案】因为(B^TAB)^T＝B^TA^T(B^T)^T＝B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，
设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0，
X^TB^TABX＝(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组
BX＝0只有零解，所以r(B)＝n．
反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0，
因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X＝(BX)^TA(BX)＞0，
所以B^TAB为正定矩阵．