【正确答案】由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以

【正确答案】1 对α₁，α₂正交化．令ξ₁=α₁=(－1，2，－1)^T
ξ₂=α₂－ξ₁=1／2(－1，0，1)^T
再分别将ξ₁，ξ₂，α₃单位化，得

那么Q为正交矩阵，且Q^TAQ=A．
2 由于A只有一个重特征值λ₁=λ₂=0，故要求A的3个两两正交的特征向量，只须求出A的属于二重特征值0的两个相互正交的特征向量即可．由于
ξ₂=α₁+2α₂=(－1，2，－1)^T+2(0，－1，1)^T=(－1，0，1)^T
也是A的属于特征值0的特征向量，且α₁⊥ξ₂，故
ξ₁=α₁=(－1，2，－1)^T，ξ₂=(－1，0，1)^T，ξ₃=α₃=(1，1，1)^T
就是A的3个两两正交的特征向量(分别属于特征值0，0，3)，再将它们单位化，即令e_j=ξ_j／‖ξ_j‖(j=1，2，3)，
则所求的正交矩阵Q可取为Q=[e₁ e₂ e₃]，且有Q^TAQ=diag(0，0，3)，以下具体求解同解1．
3 由实对称矩阵的性质，知A的属于特征值λ₁=λ₂=0的特征向量ξ=(x₁，x₂，x₃)^T与属于特征值λ₃=1的特征向量α₃=(1，1，1)^T正交，即
x₁+x₂+x₃=0
求解此齐次方程，得其基础解系——即属于λ₁=λ₂=0的两个线性无关特征向量为
ξ₁=(－1，1，0)^T，ξ₂=(1，1，－2)^T
ξ₁与ξ₂已经正交，故ξ₁，ξ₂，α₃为A的3个两两正交的特征向量，再将它们单位化，便得所求的正交矩阵可取为

【正确答案】因Q^TAQ=，且Q为正交矩阵，故A=QQ^T
(A－E) ⁶=Q(