问答题
设A，B是正定矩阵，证明：AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换．
【正确答案】
【答案解析】[解] ①
因为AB=BA，则(AB)
T
=B
T
A
T
=BA=AB，所以AB为对称矩阵．
因为A为正定矩阵，所以存在可逆矩阵P使得A=P T P；
因为B为正定矩阵，所以存在可逆矩阵Q使得B=Q T Q．
所以Q(AB)Q -1 =Q(P T P)(Q T Q)Q -1 =QP T PQ T =(PQ T ) T (PQ T )．因为PQ T 可逆，所以(PQ T ) T (PQ T )为正定矩阵．上式表明AB相似于正定矩阵，又因为AB对称，所以AB是正定矩阵．
②
因为AB=BA，则(AB)
T
=B
T
A
T
=BA=AB，所以AB为对称矩阵．
因为A为正定矩阵，所以存在可逆矩阵P使得A=P T P；
因为B为正定矩阵，所以存在可逆矩阵Q使得B=Q T Q．
所以Q(AB)Q -1 =Q(P T P)(Q T Q)Q -1 =QP T PQ T =(PQ T ) T (PQ T )．因为PQ T 可逆，所以(PQ T ) T (PQ T )为正定矩阵．上式表明AB相似于正定矩阵，又因为AB对称，所以AB是正定矩阵．
②