问答题
设f(x)在[1，+∞)上有连续的二阶导数，且f(1)=0，f"(1)=1，函数z=r
2
f(r
2
)，
满足
满足
【正确答案】
【答案解析】因为
，所以
由对称性得
． ②
将式①和式②代入原方程
得
f 4 f"(r 2 )+3r 2 f"(r 2 )+f(r 2 )=0，
令r 2 =s，则上面方程变为s 2 f"(s)+3sf"(s)+f(s)=0．
这是欧拉方程：令s=e t ，则t=lns，上面的微分方程可化为
，
此为二阶常系数齐次微分方程，易得其通解为
f(t)=(C 1 +C 2 t)e -t ，
变量还原得
，则
，
代入f(1)=0，f"(1)=1
C
1
=0，C
2
=1，
因此得
，即
，所以
由对称性得
． ②
将式①和式②代入原方程
得
f 4 f"(r 2 )+3r 2 f"(r 2 )+f(r 2 )=0，
令r 2 =s，则上面方程变为s 2 f"(s)+3sf"(s)+f(s)=0．
这是欧拉方程：令s=e t ，则t=lns，上面的微分方程可化为
，
此为二阶常系数齐次微分方程，易得其通解为
f(t)=(C 1 +C 2 t)e -t ，
变量还原得
，则
，
代入f(1)=0，f"(1)=1
C
1
=0，C
2
=1，
因此得
，即