问答题
设向量α
1
，α
2
…，α
m
线性无关，向量β
1
可用它们线性表示，向量β
2
不能用它们线性表示，证明：α
1
，α
2
，…，α
n
，λβ
1
+β
2
(λ为常数)线性无关．
【正确答案】
【答案解析】[解] 按定义证明．
设有实数k 1 ，k 2 ，…，k m ，k，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+kmαm+k(λβ 1 +β 2 )=0，假设k≠0，反证．
若k≠0，那么
又β 1 可由α 1 ，α 2 ，…，α m 线性表示，则存在一组数l 1 ，l 2 ，…，l m ，使得
β 1 =l 1 α 1 +l 2 α 2 +…+l m α m ，
于是
λβ 1 =λl 1 α 1 +λl 2 α 2 +…+λl m α m ，②
式①-式②，得
设有实数k 1 ，k 2 ，…，k m ，k，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+kmαm+k(λβ 1 +β 2 )=0，假设k≠0，反证．
若k≠0，那么
又β 1 可由α 1 ，α 2 ，…，α m 线性表示，则存在一组数l 1 ，l 2 ，…，l m ，使得
β 1 =l 1 α 1 +l 2 α 2 +…+l m α m ，
于是
λβ 1 =λl 1 α 1 +λl 2 α 2 +…+λl m α m ，②
式①-式②，得