问答题
若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ
(k)
(x
0
)=ψ
(k)
(x
0
)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x
0
时，φ
(n)
(x)＞ψ
(n)
(x)．试证：当x＞x
0
时，φ(x)＞ψ(x)．
【正确答案】正确答案：令u
(n-1)
(x)=φ
(n-1)
(x)一ψ
(n-1)
(x)．在[x
0
，x]上用微分中值定理得 u
(n-1)
(x)一u
(n-1)
(x
0
)=u
(n)
(ξ)．(x一x
0
)，x
0
＜ξ＜x． 又由u
(n)
(ξ)＞0可知u
(n-1)
(x)一u
(n-1)
(x
0
)＞0，且u
(n-1)
(x
0
)=0，所以u
(n-1)
(x)＞0，即当x＞x
0
时，φ
(n-1)
(x)＞ψ
(n-1)
(x)． 同理可证u
(n-2)
(x)=φ
(n-2)
(x)一ψ
(n-2)
(x)＞0． 归纳有u
(n-3)
(x)＞0，…，u'(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x
0
时，φ(x)＞ψ(x)．
【答案解析】