问答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g''(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：(1)在(a，b)内，g(x)≠0；(2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使
【正确答案】正确答案：(1)反证法．设存在一点c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在 [a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g'(ξ
1
)=g'(ξ
2
)=0其中ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)．对g'(x)在[ξ
1
，ξ
2
]上运用罗尔定理，可得g''(ξ
3
)=0，其中ξ
3
∈(ξ
1
，ξ
2
)．与已知g''(x)≠0矛盾，故g(c)≠0． (2)F(x)=f(x)g'(x)－f'(x)g(x)，F(a)=0，F(b)=0，在[a，b]上运用罗尔定理，故存在ξ∈(a，b)，使
【答案解析】