解答题
4.(2005年试题，19)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：(I)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1．
【正确答案】(I)设f(x)=f(x)一1+x，因为f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=一1,f(1)=1，即f(0).f(1)<0，由连续函数的零点存在性定理可知，存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，即有f(ξ)=1一ξ．(Ⅱ)根据(I)的结果，在[0，ξ]上用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，使得
在[ξ，1]上，用拉格朗日中值定理可知，存在ζ∈(ξ，1)，使得
所以，存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得
在[ξ，1]上，用拉格朗日中值定理可知，存在ζ∈(ξ，1)，使得所以，存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得【答案解析】