解答题设向量α₁,α₂，…，α_n-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ₁，ξ₂是与α₁,α₂，…，α_n-1均正交的n维非零列向量。证明：

问答题 9.ξ₁，ξ₂线性相关；

【正确答案】令A=(α₁，α₂，…，α_n-1)^T，则A是(n一1)×n矩阵，且r(A)=n一1。由已知条件可知
α_iξ_j^T=0(i=1，2，…，n一1；j=1，2)，即Aξ_j=0(j=1，2)，这说明ξ₁，ξ₂是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。但Ax=0的基础解系中所含向量的个数为
n—r(A)=n一(n一1)=1，所以解向量ξ₁，ξ₂必定线性相关。

【答案解析】

问答题 10.α₁,α₂，…，α_n-1ξ线性无关。

【正确答案】设k₁α₁+k₁α₂+…+k_n-1α_n-1+k₀ξ₁=0，两边取转置得
k₁α₁^T+k₂α₂^T+…+k_n-1α_n-1^T+k₀ξ₁^T=0，
上式两端同时右乘ξ₁得
k₁α₁^Tξ₁+k₂α₂^Tξ₁+…+k_n-1α_n-1^Tξ₁+k₀ξ₁^Tξ₁=0，注意到α_i^Tξ₁=0(i=1，2，…，n一1)，所以k₀ξ₁^Tξ₁=0.由ξ₁≠0可得ξ₁^Tξ₁≠0，于是k₀=0，从而
有k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1=0。
又因为α₁，α₂，…，α_n-1线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n-1=k₀=0，故α₁，α₂，…，α_n-1，ξ₁，线性无关。

【答案解析】