解答题
[2009年]设
问答题
23.求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
【正确答案】利用基础解系和特解的简便求法已得到
ξ2=[-1／2，1／2，0]T+k1[-1／2，一1／2，1]T=[一1／2+k1／2，1／2一k1／2，k1]T，
ξ3=k2[一1，1，0]T+k3[一1，0，1]T+[一1／2，0，0]T=[一1／2一k2，k2，k3]T，
其中k1，k2，k3为任意常数．
ξ2=[-1／2，1／2，0]T+k1[-1／2，一1／2，1]T=[一1／2+k1／2，1／2一k1／2，k1]T，
ξ3=k2[一1，1，0]T+k3[一1，0，1]T+[一1／2，0，0]T=[一1／2一k2，k2，k3]T，
其中k1，k2，k3为任意常数．
【答案解析】
问答题
24.对上题中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
【正确答案】易验证Aξ1=0．设c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3=0． ①
下面证c1=c2=c3=0，在式①两端左乘A，得到
c2Aξ2+c3Aξ3=c2ξ1+c3Aξ3=0， ②
在式②两端左乘A，得到c2Aξ1+c3Aξ3=c3Aξ3=0， ③
在式③两端左乘A，得到c3A2ξ3=c3ξ1=0．因ξ1≠0，故c3=0代入式②得c2ξ1=0，故c2=0．
将c2=0，c3=0代入式①得c1=0，故ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
下面证c1=c2=c3=0，在式①两端左乘A，得到
c2Aξ2+c3Aξ3=c2ξ1+c3Aξ3=0， ②
在式②两端左乘A，得到c2Aξ1+c3Aξ3=c3Aξ3=0， ③
在式③两端左乘A，得到c3A2ξ3=c3ξ1=0．因ξ1≠0，故c3=0代入式②得c2ξ1=0，故c2=0．
将c2=0，c3=0代入式①得c1=0，故ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
【答案解析】