解答题
[2011年] 一容器的内侧是由图1．3．5．1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成．
问答题
23.求容器的容积；
【正确答案】 利用微元分析法求变力做功时要注意用y=1／2，将区间[一1，2]分成两部分，因在[一1，1／2]及[1／2，2]上dW的表达式不同，求容积时，也一样将[一1，2]分成[一1，1／2]，[1／2，2]两部分求之．
由题设条件知所求容积为
V=V1+V2=∫-11/2πx2dy+∫1/22πx2dy
=π∫-11/2(1一y2)dy+π∫1/22(2y—y2)dy
=π
由题设条件知所求容积为
V=V1+V2=∫-11/2πx2dy+∫1/22πx2dy
=π∫-11/2(1一y2)dy+π∫1/22(2y—y2)dy
=π
【答案解析】
问答题
24.若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为g m／s2，水的密度为103kg／m3．)
【正确答案】如图1．3．5．15所示，
以y为积分变量，则y的变化范围是[一1，2]，相应于[一1，2]上的任一小区间[y，y+ay]的一层薄水可近似看作高为dy，底面积分别为πx2的一个圆柱体，得到该积分水的体积微元为πx2dy，水的密度为ρ=103，其重力为ρgπx2dy，把这部分水抽出容器所移动的距离为2一y，因此微功元dW为
dW=πρgx2dy·(2一y)=πρg(2一y)x2dy．
当一1≤y≤1／2时，dW=πρg(2一y)(1一y2)dy(因x2+y2=1)．
当1／2≤y≤2时，dW=πρg(2一y)(2y—y2)dy(因x2+y2=2y)．
综上所述，所求的功为
W=∫1/2+2dW+∫1/2+2dW=πρg∫1/2+2(2一y)(1一y2)dy+πρg∫1/2+2(2一y)(2y—y2)dy
=πpg(2y一
)∣1/2+2+πρg(2y2一
)∣1/2+2
=
以y为积分变量，则y的变化范围是[一1，2]，相应于[一1，2]上的任一小区间[y，y+ay]的一层薄水可近似看作高为dy，底面积分别为πx2的一个圆柱体，得到该积分水的体积微元为πx2dy，水的密度为ρ=103，其重力为ρgπx2dy，把这部分水抽出容器所移动的距离为2一y，因此微功元dW为
dW=πρgx2dy·(2一y)=πρg(2一y)x2dy．
当一1≤y≤1／2时，dW=πρg(2一y)(1一y2)dy(因x2+y2=1)．
当1／2≤y≤2时，dW=πρg(2一y)(2y—y2)dy(因x2+y2=2y)．
综上所述，所求的功为
W=∫1/2+2dW+∫1/2+2dW=πρg∫1/2+2(2一y)(1一y2)dy+πρg∫1/2+2(2一y)(2y—y2)dy
=πpg(2y一
)∣1/2+2+πρg(2y2一)∣1/2+2=
【答案解析】