证明：因为f(x)在闭区间[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上一定有最大值M和最小值m。

①若M=m，则f(x)在[a，b]上是常数，f(x)=M，x∈[a，b]。从而f'(x)=0，因此，任取ξ∈(a，b)，都有f'(ξ)=0。

②若M≠m，则M，m中至少有一个不等于f(a)，不妨设f(a)≠M，因此函数f(x)在(a，b)内某一点ξ处取得最大值M，下面证f'(ξ)=0：

由于f(x)在ξ处取得最大值M，所以不论Δx为正或为负，总有f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0，

当Δx＞0时，，

同理，当Δx＜0时，，，

根据题意，f(x)在ξ处可导，所以f'(ξ)=f'₊(ξ)=f'_-(ξ)=0。

综上，得证。

几何意义：设f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A，B处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧AB上至少有一点C(ξ，f'(ξ))，曲线在点C处有水平切线。