假定某经济由两个人及一个厂商构成。 该厂商使用要素劳动 L 生产产品 X， 其生产函数为 X＝2L0.5 ， 厂商的生产会带来一定的公害， 公害量 Z 依存于 X， 其关系为 Z＝X/4。 两个人的效用依存于 X 和 Z， 两人的效用函数均为 U＝3X－2Z2 。 若初期两人均只有 8 单位的劳动， 要求：
没有关于公害的法则时， 竞争均衡的产量以及公害 Z 为多少？
设 X 的价格为 P， 劳动的价格工资率为 W， 则厂商利润为： π（L） ＝PX－WL＝2PL0.5 －WL。
利润极大化的条件为： dπ/dL＝PL-0.5 －W＝0， 解得厂商的劳动需求为： Ld ＝（P/W）2 。
均衡时， 厂商的劳动需求量等于全部的劳动供给量 16（8＋8）， 即 Ld ＝P2 /W2 ＝16， 此时， X＝2L0.5 ＝8， Z＝X/4＝2。
说明帕累托最优资源配置状态；
设两个人分别为 A 和 B， 个人效用函数分别为： UA ＝3XA －2Z2 ， UB ＝3XB －2Z2 。
资源配置的可能性条件分别为： X＝XA ＋XB ， X＝2L0.5 ， Z＝X/4， 0＜L＜16。
将上述关系式代入 U A 的表达式中并经过适当化简可得：
UA ＝3（X－XB ） －2Z2 ＝3X－X 2 /4－UB ＝6L0.5 －L－UB
根据帕累托最优条件， 在 UB 一定的情况下使 U A 最大化， 其条件为： dUA /dL＝3L-0.5 －1＝0。
解得： L＝9。 此时， X＝XA ＋XB ＝2L0.5 ＝6， Z＝X/4＝3/2。
政府为抑制公害， 向厂商生产的每单位 X 征收数额 T 的税收（税收均等的分给个人用于补贴）， 那么税收额 T 应该定为多少？
当政府征税时， 厂商的利润函数为： π＝PX－TX－WL＝2（P－T） L0.5 －WL。
厂商实现利润最大化时有： dπ/dL＝（P－T） L-0.5 －W＝0， 解得： L＝（P－T）2 /W2 。
为实现帕累托最优， 应满足 L＝9， 即： （P－T）2 /W2 ＝9。
解得税额为： T＝P－3W。