填空题
设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若
∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
－e
x
+1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)= 1．
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：[*]
【答案解析】解析：未知函数含于积分之中的方程称为积分方程．现在此积 分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之．注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之． 将所给方程两边对x求导，有 g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xe
x
． 因g[f(x)]≡x，所以上式成为 xfˊ(x)+f(x)=xe
x
． 以x=0代入上式，由于fˊ(0)存在，所以由上式得f(0)=0．当x≠0时，上式成为 fˊ(x)+
f(x)=e
x
． 解得
由于f(x)在x=0处可导，所以连续．令x→0，得 0=f(0)=1+
， 所以
=－1，从而知C=1．于是得
f(x)=e
x
． 解得
由于f(x)在x=0处可导，所以连续．令x→0，得 0=f(0)=1+
， 所以
=－1，从而知C=1．于是得