问答题
设a，b互素，证明：
【正确答案】
设d
1
=gcd(m，a)，d
2
=gcd(m，b)．因为a与b互素，d
1
与d
2
也互素．又设m=d
1
m
1
，根据上题，由d
2
|d
1
m
1
且d
1
与d
2
也互素，推得d
2
|m
1
，从而d
1
d
2
|m，故d
1
d
2
是m和ab的公因子。
设d=gcd(m，ab)，d=kd
1
d
2
，k≥1． 由d
2
|b和a与b互素，d
2
也与a互素，从而由kd
1
d
2
|ab，可推得kd
1
|a．于是，kd
1
是m和a的公因子，故k=1． 得证d=d
1
d
2
．
【答案解析】
【正确答案】
充分性显然．
必要性：设d|ab，取d
1
=gcd(d，a)，d
2
=gcd(d，b)，自然有d
1
|d，d
2
|d．由d|ab，有gcd(d，ab)=d．根据(1)，d=gcd(d，a)gcd(d，b)=d
1
d
2
．
下面证明唯一性．设正整数c
1
、c
2
，使得d=c
1
c
2
且c
1
|a，c
2
|b，由于c
1
是d和a的公因子，必有c
1
≤d
1
．同理，c
2
≤d
2
．得d=c
1
c
2
≤d
1
d
2
=d，得证c
1
=d
1
，c
2
=d
2
．
【答案解析】
提交答案
关闭