填空题
18.设函数y=y(x)是微分方程y''-3y'+2y=0满足条件y(0)=1，y'(0)=2的特解，则直线x=0，y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________．
- 1、
【正确答案】
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【答案解析】本题考查二阶线性常系数齐次微分方程的求解与旋转体的体积计算．
先求微分方程的特解：微分方程y''-3y'+2y=0的特征方程为r2-3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，所以微分方程的通解为
y=C1ex+C2e2x．
进一步，y'=C1ex+2C2e2x，由y(0)=1，y'(0)=2，得
解得C1=0，C2=1，所以微分方程的特解为y=e2x．
再求旋转体的体积：取x为积分变量，则直线x=0，y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形(如图55所示)绕y轴旋转所得旋转体的体积为
先求微分方程的特解：微分方程y''-3y'+2y=0的特征方程为r2-3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，所以微分方程的通解为
y=C1ex+C2e2x．
进一步，y'=C1ex+2C2e2x，由y(0)=1，y'(0)=2，得
解得C1=0，C2=1，所以微分方程的特解为y=e2x．
再求旋转体的体积：取x为积分变量，则直线x=0，y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形(如图55所示)绕y轴旋转所得旋转体的体积为