问答题
设上半平面上一条凹曲线(如下图所示)，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，而且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行，求此曲线方程．
【正确答案】记曲线为y=f(x)，由于曲线为凹弧，即y"＞0，故曲率
[*]
又因为曲线过点(x,f(x))的法线方程为
X-x+f'(x)(Y-f(x))=0．
它与x轴交点Q的横坐标为X0=x+f'(x)f(x)，所以线段PQ长度为
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于是该曲线满足的微分方程为
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即 [*]
方程不显含x，令p=y'，则[*]，方程化为[*]，则[*]，其解为1+p2=cy2，代入初始条件，y(1)=1，p|x=1=0得c=1．
即p2=y'2=y2-1，从而[*]，分离变量后，代入初始条件无论右端取正号，负号，其解均为[*]
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又因为曲线过点(x,f(x))的法线方程为
X-x+f'(x)(Y-f(x))=0．
它与x轴交点Q的横坐标为X0=x+f'(x)f(x)，所以线段PQ长度为
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于是该曲线满足的微分方程为
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即 [*]
方程不显含x，令p=y'，则[*]，方程化为[*]，则[*]，其解为1+p2=cy2，代入初始条件，y(1)=1，p|x=1=0得c=1．
即p2=y'2=y2-1，从而[*]，分离变量后，代入初始条件无论右端取正号，负号，其解均为[*]
【答案解析】[考点] 利用曲率列方程，求曲线