【正确答案】正确答案：(Ⅰ)因为1＝∫ _－∞ ^＋∞ ∫ _－∞ ^＋∞ f(χ，y)dχdy＝∫ ₀ ^＋∞ dχ∫ _χ ^＋∞ Ae ^－χ e ^－y dy＝A∫ ₀ ^＋∞ e ^－χ dχ＝ ，所以A＝2． F(χ，y)＝P{X≤χ，Y≤y}＝∫ _－∞ ^χ ∫ _－∞ ^y f(u，v)dudv， 当χ≤0或y≤0时，F(χ，y)＝0； 当0＜y≤χ时， F(χ，y)＝∫ ₀ ^y du∫ _u ^y 2e ^-u e ^-v dv＝2∫ ₀ ^y (e ^-2u e ^-y e ^-u )du ＝(－e ^-2u ＋2e ^-y e ^-u )｜ ₀ ^y ＝1－2e ^-y ＋e ^-2y ， 当0＜χ＜Y时， F(χ，y)＝∫ ₀ ^χ du∫ _u ^y 2e ^-u e ^-v dv＝2∫ ₀ ^χ (e ^-2u －e ^-y e ^-u )du ＝(－e ^-2u ＋2e ^-y e ^-u )｜ ₀ ^χ ＝1－2e ^-y －e ^-2χ ＋2e ^-(χ+y) ． 综上得， 因为F _X (χ).F _Y (y)≠F(χ，y)，所以X与Y不独立． (Ⅱ)由于X的概率密度 Y的概率密度 (Ⅲ)①通过求Z ₁ ＝Y－X的分布函数(或概率密度)来证明Z ₁ 服从参数λ＝1的指数分布． Z ₁ ＝Y－X的分布函数F ₁ (z)＝P{Y－X≤z}＝ f(χ，y)dχdy， 当z≤0时，F ₁ (z)＝0；当z＞0时， F ₁ (z)＝∫ ₀ ^＋∞ dχ∫ _χ ^χ＋z 2e ^－χ e ^－y dy＝2∫ ₀ ^＋∞ e ^－χ (e ^－χ －e ^－χ e ^－z )dχ ＝(1－e ^－z )2∫ ₀ ^＋∞ e ^－2χ dχ＝1－e ^－z ． 综上得 所以Z ₁ ＝Y－X服从参数λ＝1的指数分布． ②若(X，Y)～f(χ，y)，则Z ₂ ＝X＋Y，的概率密度 f ₂ (z)＝∫ _－∞ ^＋∞ f(χ，z－χ)dχ＝∫ _－∞ ^＋∞ f(z－y，y)dy， 其中f(z－y，y)＝ ， 即0＜y＜z＜2)，， 所以当z≤0时f ₂ (z)＝0；当z＞0时 f ₂ (z)＝ 2e ^-z dy＝ze ^-z ． 综上得f ₂ (z)＝