解答题
20.有一容器由平面z=0，x=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径
的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系
点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系
【正确答案】(Ⅰ)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度x(t)与体积V(t)之间的关系是
V(t)=∫0z(t)S(z)dz，
其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z2+(1一z)2]．
现由
及z(0)=0，求z(t)．
将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得S(z)dz=v0dt，即
两边积分并注意z(0)=0，得
(Ⅱ)求z取何值时
取最大值．已求得(*)式即
因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(z)=z2+(1一z)2在[0，1]上的最小值点．由
(Ⅲ)归结求容器的体积，即
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得
V(t)=∫0z(t)S(z)dz，
其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z2+(1一z)2]．
现由
及z(0)=0，求z(t)．将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得S(z)dz=v0dt，即
两边积分并注意z(0)=0，得
(Ⅱ)求z取何值时
取最大值．已求得(*)式即因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(z)=z2+(1一z)2在[0，1]上的最小值点．由(Ⅲ)归结求容器的体积，即
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得
【答案解析】