解答题
20.三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝
【正确答案】因为f＝XTAX经过正交变换后的标准形为f＝y21＋y22－2y23，所以矩阵A的特征值
为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2．由｜A｜＝λ1λ2λ3＝－2得A*的特征值μ1＝μ2＝－2，μ3＝l，
从而A*＋2E的特征值为0，0，3，即a1为A*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3＝－2的特征向量．
令A的属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为a＝
，因为A为实对称矩阵，所以有
aT1a＝0，即x1＋x3＝0，故矩阵A的属于λ1＝λ2＝1的特征向量为
a2＝
，a3＝
，
令P＝(a2，a2，a3)＝
，由P－1AP＝
，
得A＝P
P－1＝
，所求的二次型为
f＝XTAX＝－
x21＋x22－
为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2．由｜A｜＝λ1λ2λ3＝－2得A*的特征值μ1＝μ2＝－2，μ3＝l，
从而A*＋2E的特征值为0，0，3，即a1为A*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3＝－2的特征向量．
令A的属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为a＝
，因为A为实对称矩阵，所以有aT1a＝0，即x1＋x3＝0，故矩阵A的属于λ1＝λ2＝1的特征向量为
a2＝
，a3＝，令P＝(a2，a2，a3)＝
，由P－1AP＝，得A＝P
P－1＝，所求的二次型为f＝XTAX＝－
x21＋x22－【答案解析】