【正确答案】首先用隐函数求导法计算y=y(x)在x=0处的一、二阶导数y'(0)与y"(0)．为此将隐函数方程两端对x求导数得
3y²y'+(y+xy')cos(xy)-2e^2x=0． (*)
将x=0与y(0)=1代入(*)即得
[*]
将(*)式两端对x求导数又得
6y(y')²+3y²y"+(2y'+xy")cos(xy)-(y+xy')²sin(xy)-4e^2x=0， (**)
将x=0，y(0)=1与[*]代入(**)即得
[*]
利用以上计算结果即知所求的曲率为
[*]
曲率半径为[*]

【正确答案】设曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆中心是(ξ，η)．先求(ξ，η)．
曲线y=y(x)在点(0，1)处的法线方程是y=1-3x[*]，曲率中心(ξ，η)位于法线上，所以有
η=1-3ξ
又(ξ，η)与(0，1)的距离即曲率半径ρ，即
[*]
于是[*]
因为y=y(x)在(0，1)附近是凹的(y"(0)＞0，y"(x)连续)，(ξ，η)在法线上凹的一侧，如图，η＞1即ξ＜0，[*]．于是曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程是
[*]
[*]
曲线y=y(x)在点M₀(x₀,y₀)(y₀=y(x₀))处的曲率中心为(ξ,η)则
[*]
推导如下：曲线y=y(x)在点M₀处的法线方程是
[*]
(ξ,η)在法线上，所有以
[*]时也成立)又(ξ,η)与(x₀,y₀)的距离即曲率半径ρ,即
(ξ-x₀)²+(η-y₀)²=ρ²
于是[*]
因为(ξ，η)位于凹的一侧，当y"(x₀)＞0时y=y(x)在x₀邻域是凹的，η＞y₀．当y"(x₀)＜0时y=y(x)在x₀邻域是凸的，η＜y₀.因此
[*]
相应地ξ=x₀-(η-y₀)y'(x₀)=x₀-[*]
若代公式，我们可得题(Ⅱ)中曲线y=y(x)的曲率中心(ξ,η)：
[*]
[*]

【正确答案】题设方程可改写为
[*] ①
由f(x)连续知[*]与[*]可导，结合4-5x与36xe^x可导即知f(x)可导，将上式两端求导得
[*]
化简得[*] ②
再将①中令x=0得
f(0)=0 ③
求解①转化为求解②+③．
从②式又知f(x)具有二阶导数，将②式两端求导得
f"(x)+4f'(x)-5f(x)=36(x+2)e^x．
在②式中令x=0得f'(0)=36，
综合可得y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题
[*]
的特解．
从特征方程λ²+4λ-5=0可得二特征根λ₁=1，λ₂=-5，于是对应齐次微分方程有二线性无关特解e^x与e^-5x，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式y^*=x(Ax+B)e^x，代入方程知待定系数A和B应满足恒等式
[6(2Ax+B)+2A]e^x=36(x+2)e^x，
不难得出A=3，B=11．从而方程具有通解
y=C₁e^x+C₂e^-5x+(3x²+11x)e^x，
于是y'=C₁e^x-5C₂e^-5x+(3x²+17x+11)e^x．
利用初值 y(0)=0与y'(0)=36可确定[*]
综合即得[*]