问答题
证明下列命题：
问答题
设f(x，y)定义在全平面上，且
【正确答案】方法1°即证f(x，y)=f(0，0)([*]x，y)．由于
f(x，y)-f(0，0)=[f(x，y)-f(0，y)]+[f(0，y)-f(0，0)]
[*]
(其中ξ在x，0之间，η在0，y之间)
[*]
因此 f(x，y)=f(0，0)([*]x，y)．
方法2°偏导数实质上是一元函数的导数，在全平面上，[*]，即[*]给定y，作为x的一元函数f(x，y)对x的导数
[*]
于是f(x，y)=φ(y)
φ(y)是[*]可导函数(当y给定时它是x的常数函数)．
将上式两端关于y求偏导数与导数，有
[*]
[*]
f(x，y)=φ(y)=C．
因此f(x，y)恒为常数．
【答案解析】
问答题
设u(x，y)，υ(x，y)定义在全平面上，且满足
【正确答案】由所给条件即证[*]
由[*]
将[*]代入上式[*]
此方程组的系数行列式
[*]
若C=0[*]u=0，υ=0；若C≠0[*]u(x，y)为常数．
同理可证：υ(x，y)为常数．
①对于这类证明题，要注意题设条件与结论的内在关系及所证结论的转换，例如：设函数z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且[*]，试证对任意的常数C，f(x，y)=C确定y=y(x)为一直线的充要条件是[*]．
([提示] 由于y=y(x)是线性函数的充要条件为y'(x)=K(K为常数)，进而y"(x)=0．设y=y(x)是由方程f(x，y)=C确定的隐函数，则只需证题中的条件是[*]的充要条件
②作为复习，请考生证明：(Ⅰ)设u(x,y)有二阶连续偏导数，则u(x，y)=f(x)+g(y)的充要条件是[*]．(Ⅱ)设u(x，y)≠0,且具有二阶连续偏导数，则u(x，y)=f(x)．g(y)的充分必要条件是[*]．([提示]该题与题(Ⅰ)是相类似的问题,证明思路同题(Ⅰ)的方法2°．)
分析与证明：
(Ⅰ)[*]
(Ⅱ)u(x,y)=f(x)g(y)[*]ln|u|=ln|f(x)|+ln|g(y)|
(记w(x，y)=ln|u(x，y)|)
[*]
现求出
[*]
【答案解析】
问答题
计算二重积分
【正确答案】[*]，将D中的x与y交换，D不变，所以
[*]
中，将被积函数中的x与y交换，该积分的值亦不变．于是有
[*]
从而[*]
[*]
又[*]
[*]
由于sinx是x的奇函数，siny是y的奇函数，且D既对称于y轴，又对称于x轴，所以
[*]
于是[*]
①利用区域D的x与y的轮换对称性可以化简计算，其定理如下：
设f(x，y)在区域D上连续，且D关于x与y轮换对称，即D关于直线y=x对称，则
[*]
②利用区域D关于某一坐标轴对称，且f(x，y)具有对于另一坐标变量的奇、偶性，可以化简计算，其定理如下：
1°设f(x,y)在D上连续，D关于x轴对称，D1是D中位于y≥0部分，则有
[*]
2°设f(x,y)在D上连续，D关于y轴对称，D3是D中位于x≥0的部分，则有
[*]
[*]
中，将被积函数中的x与y交换，该积分的值亦不变．于是有
[*]
从而[*]
[*]
又[*]
[*]
由于sinx是x的奇函数，siny是y的奇函数，且D既对称于y轴，又对称于x轴，所以
[*]
于是[*]
①利用区域D的x与y的轮换对称性可以化简计算，其定理如下：
设f(x，y)在区域D上连续，且D关于x与y轮换对称，即D关于直线y=x对称，则
[*]
②利用区域D关于某一坐标轴对称，且f(x，y)具有对于另一坐标变量的奇、偶性，可以化简计算，其定理如下：
1°设f(x,y)在D上连续，D关于x轴对称，D1是D中位于y≥0部分，则有
[*]
2°设f(x,y)在D上连续，D关于y轴对称，D3是D中位于x≥0的部分，则有
[*]
【答案解析】