问答题
设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α．
(Ⅰ)证明矩阵A和对角矩阵相似；
(Ⅱ)如α=(0，-1，1) T ，β=(1，0，-1) T ，求矩阵A；
(Ⅲ)由(Ⅱ)用配方法化二次型χ T Aχ为标准形，并写出所用坐标变换．
(Ⅰ)证明矩阵A和对角矩阵相似；
(Ⅱ)如α=(0，-1，1) T ，β=(1，0，-1) T ，求矩阵A；
(Ⅲ)由(Ⅱ)用配方法化二次型χ T Aχ为标准形，并写出所用坐标变换．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)矩阵A各行元素之和均为0，即
知0是矩阵A的特征值，α
1
=(1，1，1)
T
是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．又A(α+β)=3(α+β)，A(α-β)=-3(α-β)且由α，β线性无关，知α+β，α-β均不是零向量．从而，3和-3都是矩阵A的特征值．α+β，α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量，那么矩阵A有3个不同的特征值，所以
．
(Ⅱ)当α=(0，-1，1) T ，β=(1，0，-1) T 时，按已知有A(α 1 ，α，β)=(0，3β，3α)，
即
所以
．
(Ⅲ)
令
即
有
．
(Ⅱ)当α=(0，-1，1) T ，β=(1，0，-1) T 时，按已知有A(α 1 ，α，β)=(0，3β，3α)，
即
所以
．
(Ⅲ)
令
即
有