问答题
设在平面区域D上数量场u(x，y)=50－x
2
－4y
2
，试问在点P
0
(1，一2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P
0
(1，一2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．
【正确答案】正确答案：因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑grad u｜
(1，－2)
=
=(－2xi－8yj)｜
(1，－2)
=－2i+16j，故u(x，y)在点P
0
(1，－2)处沿grad u｜
(1，－2)
=－2i+16j方向升高最快． 设所求的路径为y=y(x)，其上任一点P(x，y)处的切向量τ=(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向gradu=－2xi－8yj一致，则有
=(－2xi－8yj)｜
(1，－2)
=－2i+16j，故u(x，y)在点P
0
(1，－2)处沿grad u｜
(1，－2)
=－2i+16j方向升高最快． 设所求的路径为y=y(x)，其上任一点P(x，y)处的切向量τ=(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向gradu=－2xi－8yj一致，则有
【答案解析】