问答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f"(x)≠1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)=x．
【正确答案】
【答案解析】
证明：由条件知0＜f(x)＜1．令F(x)=f(x)-x，于是F(0)＞0，F(1)＜0，所以存在ξ∈(0，1)，使F(ξ)=0．假设存在ξ
1
，ξ
2
∈(0，1)，满足f(ξ
1
)=ξ
1
，f(ξ
2
)=ξ
2
，不妨假设ξ
2
＜ξ
1
，于是ξ
1
-ξ
2
=f(ξ
1
)-f(ξ
2
)=f"(η)(ξ
1
-ξ
2
)，(ξ
2
＜η＜ξ
1
)，所以f"(η)=1，矛盾．所以f(x)仅有一个x，使f(x)=x．
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