题干分析：甲区为刘某的犯罪地，且甲区公安分局将刘某带回派出所进行调查，确认了其违法事实，甲区公安分局为案件最初受理的公安机关；乙区为刘某的户籍所在地，居住地包括户籍所在地、经常居住地，乙区公安分局也有权管辖此案件；丙区为刘某的经常居住地，丙区公安分局也有权管辖此案。

《公安机关办理刑事案件程序规定》第十八条：几个公安机关都有权管辖的刑事案件，由最初受理的公安机关管辖。必要时，可以由主要犯罪地的公安机关管辖。

《公安机关办理刑事案件程序规定》第十五条：刑事案件由犯罪地的公安机关管辖。如果由犯罪嫌疑人居住地的公安机关管辖更为适宜的，可以由犯罪嫌疑人居住地的公安机关管辖。

A项:正确，甲区为刘某的犯罪地，符合《公安机关办理刑事案件程序规定》第十五条：刑事案件由犯罪地的公安机关管辖。由题干分析可知甲、乙、丙公安分局都有权管辖此案件，根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第十八条规定，可知应由最初受理案件的甲区公安分局管辖。

B项：错误，乙区为刘某的户籍地，居住地包括户籍所在地、经常居住地。乙区公安分局也有权管辖此案件。根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第十八条规定可知，甲、乙、丙区公安分局都有权管辖此案件，应由最初受理案件的甲区公安分局管辖。

C项：错误，丙区为刘某的经常居住地，丙区公安分局也有权管辖此案。根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第十八条规定可知，甲、乙、丙区公安分局都有权管辖此案件，应由最初受理案件的甲区公安分局管辖。

D项：错误，丁区为刘某的工作单位地，丁区既不是刘某的犯罪地，也不是居住地，故丁区公安分局无权管辖此案，不能作出处罚。

故正确答案为A。