问答题
设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f'(0)=0．证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f'''(ξ)=3．
【正确答案】正确答案：f(x)=f(x
0
)+f'(x
0
)(x－x
0
)+
(x
0
)(x－x
0
)
2
+
f'''(η)(x－x
0
)
3
， 取x
0
=0，x=1代入，得
η
1
∈(0，1)． ① 取x
0
=0，x=－1代入，得
η
2
(－1，0)． ② ①－②得 f(1)－f(－1)=
[f'''(η
1
)+f'''(η
2
)]=1－0=1． ③ 因为f'''(x)在[－1，1上连续，则存在m和M，使得
x∈[－1,1]，m≤f'''(x)≤M， m≤f'''(η
1
)≤M，m≤f'''(η
2
)≤M=>m≤
(x
0
)(x－x
0
)
2
+
f'''(η)(x－x
0
)
3
， 取x
0
=0，x=1代入，得
η
1
∈(0，1)． ① 取x
0
=0，x=－1代入，得
η
2
(－1，0)． ② ①－②得 f(1)－f(－1)=
[f'''(η
1
)+f'''(η
2
)]=1－0=1． ③ 因为f'''(x)在[－1，1上连续，则存在m和M，使得
x∈[－1,1]，m≤f'''(x)≤M， m≤f'''(η
1
)≤M，m≤f'''(η
2
)≤M=>m≤
【答案解析】