解答题
20.设随机变量X的密度函数为f（x），方差DX=4，而随机变量y的密度函数为2f（—2y），且X与Y的相关系数ρXY=
【正确答案】(Ⅰ)EZ = E(X+2Y)=EX+2EY =∫—∞+∞xf(x)dx+2∫—∞+∞y．2f(—2y)dy
=∫—∞+∞xf（x）dx+∫—∞+∞（一2y）f(一2y)d（一2y）
∫—∞+∞xf（x）dx+tf(t)dt=0，
由此可知，EZ=0，EY=
EX．又DY=EY2一(EY)2，而
EY2=∫—∞+∞y2．2f(一2y)dy=
∫—∞+∞（一2y）2f(一2y）d（一2y）
所以 DY=EY2一(EY)2=
DZ = D(X+2Y) = DX+4DY+4cov(X，Y)
= DX+4DY+
(Ⅱ)由切比雪夫不等式
P{|Z|≥4} = P{|Z—EZ|≥4}≤
=∫—∞+∞xf（x）dx+∫—∞+∞（一2y）f(一2y)d（一2y）
∫—∞+∞xf（x）dx+tf(t)dt=0，由此可知，EZ=0，EY=
EX．又DY=EY2一(EY)2，而EY2=∫—∞+∞y2．2f(一2y)dy=
∫—∞+∞（一2y）2f(一2y）d（一2y）所以 DY=EY2一(EY)2=
DZ = D(X+2Y) = DX+4DY+4cov(X，Y)
= DX+4DY+
(Ⅱ)由切比雪夫不等式
P{|Z|≥4} = P{|Z—EZ|≥4}≤
【答案解析】