问答题
问答题
设f(x)在[a，b]上非负连续且不恒为零，证明：必有
【正确答案】
【答案解析】[证] 由题意f(x)≥0，x∈[a，b]，则
使f(x
0
)≠0，
从而f(x 0 )＞0，又由连续性可得，
使得对x∈[a，b]，当0＜|x-x 0 |＜δ时，恒有f(x)＞η＞0．
于是
使f(x
0
)≠0，
从而f(x 0 )＞0，又由连续性可得，
使得对x∈[a，b]，当0＜|x-x 0 |＜δ时，恒有f(x)＞η＞0．
于是
问答题
是否存在[0，2]上的可导函数f(x)，满足
【正确答案】
【答案解析】[解]
设在[0,2]上存在连续可微的函数f(x)满足题设条件，则在[0，1]上，对
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(0)=f"(ξ 1 )(x-0)，
即
f(x)=1+f"(ξ 1 )x，
利用|f"(x)|≤1得1-x≤f(x) (x∈(0，1])，
由题设f(0)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[0，1]．
同样，在[1，2]上，对
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(2)=f"(ξ 2 )(x-2)，
即f(x)=1+f"(ξ 2 )(x-2)，
利用|f"(x)|≤1得 1+(x-2)≤f(x)，
即 x-1≤f(x) (x∈[1，2))．
由题设f(2)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[1，2]．
这与f(x)所满足的
设在[0,2]上存在连续可微的函数f(x)满足题设条件，则在[0，1]上，对
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(0)=f"(ξ 1 )(x-0)，
即
f(x)=1+f"(ξ 1 )x，
利用|f"(x)|≤1得1-x≤f(x) (x∈(0，1])，
由题设f(0)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[0，1]．
同样，在[1，2]上，对
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(2)=f"(ξ 2 )(x-2)，
即f(x)=1+f"(ξ 2 )(x-2)，
利用|f"(x)|≤1得 1+(x-2)≤f(x)，
即 x-1≤f(x) (x∈[1，2))．
由题设f(2)=1知，这一不等式成立范围可扩大为x∈[1，2]．
这与f(x)所满足的