假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值θ 是未知参数.为估计θ , 取 n 个这种元件同时做寿命试验，试验到出现 k (1 ≤ k ≤ n)个元件失效时停止.（1）若k = 1 ，失效元件的寿命记为T ，（i）求T 的概率密度；（ii）确定 a ，使得
是θ 的无偏估计，并求
；（2） 已知k 个失效元件的寿命值分别为 t1 , t2 , … , tk , 且 t1 ≤ t2 ≤ … ≤ tk ，似然函数为
【正确答案】
（1）（i）设元件的寿命分别为 X1 ,X2 , …,Xn ，则每个样本均服从参数
的指数分布，即
当 k = 1时， T = min {X1,X2, …,Xn } ，设T 的分布函数为 FT (t ) ，则
T 的概率密度为
（ii） 由（i）可知， T ~ E
,所以
当 a = n 时，
为θ 的无偏估计量.
（2）似然函数为
即θ 的最大似然估计值为
【答案解析】