随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度f
U
(u)；
(Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度f
V
(v)．
【正确答案】正确答案：由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度． (Ⅰ)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度 f(x，y)=f
X
(x)f
Y
(y)=
所以U=XY的分布函数为(如图3．3) F
U
(u)=P{XY≤u}=
f(x，y)dxdy． 当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1；当0＜u＜1时， F
U
(u)=∫
0
u
dx∫
0
1
dy+∫
u
1
dx
dx=u—ulnu． 综上得
(Ⅱ)分布函数法．由题设知
所以V=｜X—Y｜的分布函数F
V
(v)=P{｜X—Y｜≤v}． 当v≤0时，F
V
(v)=0；当v＞0时， F
V
(v)=P{｜X—Y｜≤v}=P{一v≤X—Y≤v} =
f(x，y)dxdy． 由图3．4知，当v≥1时，F
V
(v)=1；当0＜v＜1时， F
V
(v)=
f(x，y)dxdy=D的面积 =1—2×
×(1—v)
2
=1一(1—v)
2
， 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1，｜x一y｜≤v}． 综上得
所以U=XY的分布函数为(如图3．3) F
U
(u)=P{XY≤u}=
f(x，y)dxdy． 当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1；当0＜u＜1时， F
U
(u)=∫
0
u
dx∫
0
1
dy+∫
u
1
dx
dx=u—ulnu． 综上得
(Ⅱ)分布函数法．由题设知
所以V=｜X—Y｜的分布函数F
V
(v)=P{｜X—Y｜≤v}． 当v≤0时，F
V
(v)=0；当v＞0时， F
V
(v)=P{｜X—Y｜≤v}=P{一v≤X—Y≤v} =
f(x，y)dxdy． 由图3．4知，当v≥1时，F
V
(v)=1；当0＜v＜1时， F
V
(v)=
f(x，y)dxdy=D的面积 =1—2×
×(1—v)
2
=1一(1—v)
2
， 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1，｜x一y｜≤v}． 综上得
【答案解析】