解答题
6.(1995年)设f(x)、g(x)在区间[一a，a](a＞0)上连续．g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(一x)=A(A为常数)
(1)证明∫－aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx
(2)利用(1)的结论计算定积分
(1)证明∫－aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx
(2)利用(1)的结论计算定积分
【正确答案】由于∫－aaf(x)g(x)dx=∫－a0f(x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx
又 ∫－a0f(x)g(x)dx
∫0af(－t)g(－t)dt=∫0af(－t)g(t)dt
=∫0a(一x)g(x)dx
所以∫－aaf(x)g(x)dx=∫0a[f(x)+f(－x)]g(x)dx=A∫0ag(x)dx
(2) 取f(x)= arctanex，f(x)= ｜sinx｜，
f(x)+f(一x)=arctanex+arctane－x
由于
则 arctanex+arctane－x=A
令x=0，得2arctan1=A，
又 ∫－a0f(x)g(x)dx
∫0af(－t)g(－t)dt=∫0af(－t)g(t)dt=∫0a(一x)g(x)dx
所以∫－aaf(x)g(x)dx=∫0a[f(x)+f(－x)]g(x)dx=A∫0ag(x)dx
(2) 取f(x)= arctanex，f(x)= ｜sinx｜，
f(x)+f(一x)=arctanex+arctane－x
由于
则 arctanex+arctane－x=A
令x=0，得2arctan1=A，
【答案解析】