设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f
'
(x)+f(x)一
问答题
求导数f
'
(x)；
【正确答案】正确答案：由题设知 (x+1)f
'
(x)+(x+1)f(x)一∫
0
x
f(t)dt=0。 上式两边对x求导，得 (x+1)f
''
(x)=一(x+2)f
'
(x)， 即有
。 两边积分，得 ln｜f
'
(x)｜=一x一ln(x+1)+C
1
， 所以 f
'
(x)=
。 在题设等式中令x=0，得f
'
(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f
'
(0)=一1，代入f
'
(x)的表达式，得C=一1，故有 f
'
(x)=
。 两边积分，得 ln｜f
'
(x)｜=一x一ln(x+1)+C
1
， 所以 f
'
(x)=
。 在题设等式中令x=0，得f
'
(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f
'
(0)=一1，代入f
'
(x)的表达式，得C=一1，故有 f
'
(x)=
【答案解析】
问答题
证明：当x≥0时，成立不等式e
－x
≤f(x)≤1。
【正确答案】正确答案：由(I)中结果知，当x≥0时，f
'
(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。 设φ(x)=f(x)一e
－x
，则 φ(0)=0，φ
'
(x)=f
'
(x)+e
－x
=
【答案解析】