问答题
有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有1个红球，2个白球，2个黑球；乙袋装有2个红球，1个白球，2个黑球；丙袋装有2个红球，3个白球，现任取一袋，从中任取2个球，用X表示取到的红球数，Y表示取到的白球数，Z表示取到的黑球数，试求：
(Ⅰ)(X，Y)的联合分布；
(Ⅱ)cov(X，Y)+cov(Y，Z).
(Ⅰ)(X，Y)的联合分布；
(Ⅱ)cov(X，Y)+cov(Y，Z).
【正确答案】[解法一] (Ⅰ)用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有
从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：
(Ⅱ)
于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)
[解法二] (Ⅰ)求(X，Y)的联合分布同[解法一]，但不求(Y，Z)的联合分布.
(Ⅰ)由Z=2-X-Y，故
cov(X，Y)+cov(Y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y)
=cov(X，Y)-cov(Y，X)-cov(Y，Y)=-DY
又
故
从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：
(Ⅱ)
于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)[解法二] (Ⅰ)求(X，Y)的联合分布同[解法一]，但不求(Y，Z)的联合分布.
(Ⅰ)由Z=2-X-Y，故
cov(X，Y)+cov(Y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y)
=cov(X，Y)-cov(Y，X)-cov(Y，Y)=-DY
又
故
【答案解析】①[解法二]显然比[解法一]简便得多，故在解题过程中要尽量利用随机变量间的关系简化计算. 如在该题中cov(X，Y)+cov(X，Z)=-Dcov(X，Z)+cov(Y，Z)=-DZ等
②在[解法一]中我们将(X，Y)，(Y，z)的联合分布同时求出来，是为了计算cov(Y，Z)，若需要也可以同时求出(X，Z)的联合分布.
②在[解法一]中我们将(X，Y)，(Y，z)的联合分布同时求出来，是为了计算cov(Y，Z)，若需要也可以同时求出(X，Z)的联合分布.