解答题
18.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．
【正确答案】∫01∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)如 (交换积分次序)
=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy (积分值与积分变量使用的字母无关)，
故 ∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=
∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+
∫01dx∫x1f(x)f(y)dy
=
∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+
∫01dx∫0xf(x)f(y)dy
=
∫01dx∫01f(x)f(y)dy=
∫01f(x)dx∫01f(y)dy=
=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy (积分值与积分变量使用的字母无关)，
故 ∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=
∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=
∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+∫01dx∫0xf(x)f(y)dy=
∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=【答案解析】