解答题
15.设f(z)在[0，1]上二阶可导，｜f''(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)＝f(1)．证明：对任意的x∈[0,1]，有｜f'(x)｜≤
【正确答案】对任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得f(0)＝f(x)－f'(x)x＋
，其中ξ1介于0与x之间；f(1)＝f(x)＋f'(x)(1－x)＋
，其中ξ2介于x与1之间．两式相减得0＝f'(x)＋
，于是
由｜f''(x)｜≤1(x∈[0，1])，得
令φ(x)＝(1－x)2+z2，令φ'(x)＝0，得x＝
因为φ(0)＝φ(1)＝1，
，所以φ(x)＝(1－x)2+x2在[0，1]上的最大值为1，故
，其中ξ1介于0与x之间；f(1)＝f(x)＋f'(x)(1－x)＋，其中ξ2介于x与1之间．两式相减得0＝f'(x)＋，于是由｜f''(x)｜≤1(x∈[0，1])，得令φ(x)＝(1－x)2+z2，令φ'(x)＝0，得x＝因为φ(0)＝φ(1)＝1，，所以φ(x)＝(1－x)2+x2在[0，1]上的最大值为1，故【答案解析】