解答题
问答题
设Φ(x)在[a，b]二阶可导，Φ"(x)≤0，在[a，b]的
子区间上Φ"(x)
子区间上Φ"(x)
【正确答案】
【答案解析】[分析与证明] 由罗尔定理知，
c∈(a，b)，Φ'(c)=0．由Φ'(x)在[a，b]↘，
Φ(x)在[a，c]↗，在[c，b]↘，
Φ(x)＞Φ(a)=0(a＜x≤c)，
Φ(x)＞Φ(b)=0(c≤x＜b)
因此，
Φ(x)＞0(a＜x＜b)．
c∈(a，b)，Φ'(c)=0．由Φ'(x)在[a，b]↘，Φ(x)在[a，c]↗，在[c，b]↘，Φ(x)＞Φ(a)=0(a＜x≤c)，
Φ(x)＞Φ(b)=0(c≤x＜b)
因此，
Φ(x)＞0(a＜x＜b)．
问答题
设f(x)在[0，1]上可导，且f(x)≥0，f'(x)＜0．求证：函数
满足
满足
【正确答案】
【答案解析】[分析与证明] 令Φ(x)=F(x)-xF(1)，则Φ(x)在[0，1]二阶可导，在[0，1]区间
Φ'(x)=f(x)-F(1)，Φ"(x)=f'(x)＜0
且Φ(0)=F(0)=0，Φ(1)=F(1)-F(1)=0．
由上一小题得
Φ(x)＞0(x∈(0，1))
即F(x)＞xF(1)(x∈(0，1))
将上式两边在[0，1]积分得
由f(x)在[0，1]单调上升，F(1)＞F(x)(x∈(0，1))
Φ'(x)=f(x)-F(1)，Φ"(x)=f'(x)＜0
且Φ(0)=F(0)=0，Φ(1)=F(1)-F(1)=0．
由上一小题得
Φ(x)＞0(x∈(0，1))
即F(x)＞xF(1)(x∈(0，1))
将上式两边在[0，1]积分得
由f(x)在[0，1]单调上升，F(1)＞F(x)(x∈(0，1))