【正确答案】 旋转体的体积可按式(1．3．5．4)求之，表面积可按式(1．3．5．2)求之．
(I)设D的图形为图1．3．5．9所示，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看为两个旋转体体积之差．先将曲线的参数方程化为直角坐标方程：
令x=cos³t，y=sin³t，则x=0，1时，t=，0．
x^2/3=(cos³t)^2/3=cos²t，l一x^2/3=l—cos²t=sin²t=(sin³t)^2/3=y^2/3,
故y=(1一x^2/3)^3/2
其略图如图1．3．5．9所示，则
则V_x=π∫₀¹()²dx—π∫₀¹y²dx=π∫₀¹(1一x²)dx—π∫_π/2⁰sin⁶tdcos³t
=－π∫_π/2⁰sin⁶t·3cos²t(一sint)dt=一3π∫₀^π/2sin⁷t(1一sin²t)dt
=－3π∫₀^π/2sin⁷tdt+3π∫₀^π/2sin⁹tdt
=
(Ⅱ)由式(1．3．5．2)得到
S₁=∫₀¹2π．ydx=2π∫₀¹=2π．
由y=(1一x^2/3)^3/2得到
(y′)²==1．
于是，则
S₂=2π∫₀¹ydt=2π∫₀¹(1一x^2/3)^3/2·x^1/3dx
=2π∫_π/2⁰sin³t cos^-1t·3 cos²t(—sint)dt
=6π∫₀^π/2sin⁴tcostdt=6π∫₀^π/2sin⁴tdsint
=6π
故D绕x轴旋转一周所得的表面积为S=S₁+S₂=2π+