问答题
设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
(1)求f(x)；
(2)求u(x，y)的一般表达式．
【正确答案】正确答案：(1)由题意知， du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy， 即
=xy(1+y)一f(x)y，
=f(x)+x
2
y． 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
即有 x(1+2y)一f(x)=f'(x)+2xy， f'(x)+f(x)=x． 又f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e
-x
． (2)由(1)知du=(xy
2
+y—ye
-x
)dx+(x一1+e
-x
+x
2
y)dy． 求u(x，y)有多种方法． du=(xy
2
+y-ye
-x
)dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye
-x
dx+e
-x
dy)一dy=
所以u(x，y)=
=xy(1+y)一f(x)y，
=f(x)+x
2
y． 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
即有 x(1+2y)一f(x)=f'(x)+2xy， f'(x)+f(x)=x． 又f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e
-x
． (2)由(1)知du=(xy
2
+y—ye
-x
)dx+(x一1+e
-x
+x
2
y)dy． 求u(x，y)有多种方法． du=(xy
2
+y-ye
-x
)dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye
-x
dx+e
-x
dy)一dy=
所以u(x，y)=
【答案解析】