【正确答案】方法一 令f(x)＝(＋1)ln(1＋x)－2arctanx，f(0)＝0．
f’(x)＝
对(＋1)²－2x＋－1，因为△＝4－4(＋1)(－1)＝0且＋1＞0，
所以(＋1)x²－2x＋－1≥0，从而f’(x)≥0(x＞0)．
由，得f(x)≥f(0)＝0(x＞0)，即(x＞0)．
方法二 令f(x)＝arctanx，F(x)＝ln(1＋x)，f’(x)＝，F’(x)＝，
显然f(0)＝0，F(0)＝0．
由柯西中值定理，存在ξ∈(0，x)，使得

令φ(x)＝，由φ’(x)＝＝0，得x＝－1．
当x∈(0，－1)时，f’(x)＞0；当x∈(－1，＋∞)时，f’(x)＜0，则x＝－1
为φ(x)在(0，＋∞)内的最大值点，最大值为M＝φ，
所以