解答题
(2003年试题，九)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m，根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．
问答题
5.根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
【正确答案】由题设，设t时刻时液面的高度为y，则此时液面面积S=π[φ(y)]2，由已知
=π，即得S=πt+S0=πt+4π因此πt+4π=π[φ(y)]2，从而φ2(y)=4+t(1)此即t与φ(y)之间的关系式；当t时刻液面高度为y时，容器内液体体积为
由已知，y=3t，则
将式(1)代入此式得
=π，即得S=πt+S0=πt+4π因此πt+4π=π[φ(y)]2，从而φ2(y)=4+t(1)此即t与φ(y)之间的关系式；当t时刻液面高度为y时，容器内液体体积为由已知，y=3t，则将式(1)代入此式得【答案解析】
问答题
6.求曲线x=φ(y)的方程．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分)
【正确答案】将式(2)两边对)，求导，得πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，即
解此方程得φ(y)=
由已知φ(0)=2，则可推知C=2，所以曲线x=φ(y)为
解此方程得φ(y)=由已知φ(0)=2，则可推知C=2，所以曲线x=φ(y)为【答案解析】考查了应用定积分求旋转体的体积和微分方程的求解方法．