【正确答案】 A

【答案解析】由题设可知，F(x)=∫₀^xf(t)dt+k(k为一常数)，则f(x)为奇函数 => ∫₀^xf(t)dt为偶函数 => f(x)的全体原函数为偶函数 => F(x)是偶函数(因F(x)是f(x)的一个原函数)．
反之，若F(x)为偶函数 => F(-x)=F(x) => [F(一x)]_x'=F'(x)，即F'(一x)(一1)=F'(x)，亦即f(一x)(一1)=f(x)(因F'(x)=f(x)) => -f(-x)=f(x) => f(x)为奇函数．
仅A入选．