结构推理 8.设X(t)=At+B,-∞<t<+∞,式中A,B是相互独立,且都服从正态分布N(0,σ2)的随机变量,试证明X(t)是一正态过程,并求出它的相关函数(协方差函数).
【正确答案】由题设,A,B是相互独立的正态变量,所以(A,B)是二维正态变量,对于任意一组实数t1,t2,…,tn∈T,
   X(ti)=Ati+B,  i=1,2,…,n都是A,B的线性组合,于是根据教材第四章§4中n维正态变量的性质3°知(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n维正态变量,再由n,ti的任意性,得知X(t)是正态过程.而
   RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(At1+B)(At2+B)]
   =t1t2E(A2)+(t1+t2)E(AB)+E(B2),t1,t2∈T.
   因A~N(0,σ2),B~N(0,σ2),且A,B相互独立,即有E(A)=E(B)=0,E(A2)=E(B2)=σ2,E(AB)=E(A)E(B)=0,故
   RX(t1,t2)=(t1t2+1)σ2
   又因μX(t)=E(At+B)=tE(A)+E(B)=0,故
   CX(t1,t2)=RX(t1,t2).
【答案解析】