问答题
设向量α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
都是非零向量，且满足条件α
T
β=0，记n阶矩阵A=αβ
T
，求：
问答题
A
2
；
【正确答案】
【答案解析】【解】由A=αβ
T
和α
T
β=0，有
A 2 =AA=(αβ T )(αβ T )=α(β T α)β T =(β T α)αβ T =(α T β)αβ T =O，
即A是幂零阵(A 2 =O)．
A 2 =AA=(αβ T )(αβ T )=α(β T α)β T =(β T α)αβ T =(α T β)αβ T =O，
即A是幂零阵(A 2 =O)．
问答题
A的特征值和特征向量；
【正确答案】
【答案解析】【解】方法一 利用(1)A
2
=O的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=λξ．
两边左乘A，得 A 2 ξ=λAξ=A 2 ξ．
因A 2 =O，所以λ 2 ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0．
方法二 直接用特征值的定义．
Aξ=αβ T ξ=λξ， ①
由①式若β T ξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0．
若β T ξ≠0，①式两端左乘β T ，得
β T αβ T ξ=(β T α)β T ξ=0·(β T ξ)=λβ T ξ，得λ=0，
故A的全部特征值为0．
方法三 利用特征方程|λE-A|=0．
因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2 n 个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是
因
故|λE-A|=λ
n
=0，故λ=0是A的全部特征值．
方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a 1 ≠0，b 1 ≠0，有
则A的对应于特征值0的特征向量：
Aξ=λξ．
两边左乘A，得 A 2 ξ=λAξ=A 2 ξ．
因A 2 =O，所以λ 2 ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0．
方法二 直接用特征值的定义．
Aξ=αβ T ξ=λξ， ①
由①式若β T ξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0．
若β T ξ≠0，①式两端左乘β T ，得
β T αβ T ξ=(β T α)β T ξ=0·(β T ξ)=λβ T ξ，得λ=0，
故A的全部特征值为0．
方法三 利用特征方程|λE-A|=0．
因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2 n 个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是
因
故|λE-A|=λ
n
=0，故λ=0是A的全部特征值．
方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a 1 ≠0，b 1 ≠0，有
则A的对应于特征值0的特征向量：
问答题
A能否相似于对角阵，说明理由．
【正确答案】
【答案解析】【解】A不能相似于对角阵，因α≠0，β≠0，故A=αβ
T
≠O，r(A)=r≠0(其实r(A)=1，为什么?)．从而对夜于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n-r≠n个，故A不能对角化．