问答题
设曲线积分 ∮
L
2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x
2
ψ(y)+2xy
2
—2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数．
(Ⅰ)若φ(0)=一2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)；
(Ⅱ)计算沿L从点O(0，0)到M(π，
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由假设条件，该曲线积分与路径无关，将曲线积分记为∮
L
Pdx+Qdy，由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知，φ(y)，ψ(y)满足
，即 2[xφ'(y)+ψ'(y)]=2xψ(y)+2y
2
—2φ(y)． 由此得 x[φ'(y)一ψ(y)]=y
2
一φ(y)一ψ'(y)． 由于x，y是独立变量，若令x=0，则y
2
一φ(y)一ψ'(y)=0．将之代回上式又得 φ'(y)一ψ(y)=0． 因此，φ(y)，ψ(y)满足
将第一个方程ψ(y)=φ'(y)代入第二个方程得φ"(y)+φ(y)=y
2
．这是二阶线性常系数非齐次方程，它的通解是φ(y)=C
1
cosy+C
2
siny+y
2
—2．由条件φ(0)=一2，φ'(0)=ψ(0)=1，得c
1
=0，c
2
=1，于是求得φ(y)=siny+y
2
—2，ψ(y)=φ'(y)=cosy+2y． (Ⅱ)求u使得du=Pdx+Qdy．把φ，ψ的关系式代入并整理得 Pdx+Qdy=φ(y)dx
2
+x
2
dφ(y)+ψ(y)d(2x)+2x[y
2
一φ(y)]d)， =d[x
2
φ(y)]+ψ(y)d(2x)+2xdψ(y) =d[x
2
φ(y)+2xψ(y)]．
，即 2[xφ'(y)+ψ'(y)]=2xψ(y)+2y
2
—2φ(y)． 由此得 x[φ'(y)一ψ(y)]=y
2
一φ(y)一ψ'(y)． 由于x，y是独立变量，若令x=0，则y
2
一φ(y)一ψ'(y)=0．将之代回上式又得 φ'(y)一ψ(y)=0． 因此，φ(y)，ψ(y)满足
将第一个方程ψ(y)=φ'(y)代入第二个方程得φ"(y)+φ(y)=y
2
．这是二阶线性常系数非齐次方程，它的通解是φ(y)=C
1
cosy+C
2
siny+y
2
—2．由条件φ(0)=一2，φ'(0)=ψ(0)=1，得c
1
=0，c
2
=1，于是求得φ(y)=siny+y
2
—2，ψ(y)=φ'(y)=cosy+2y． (Ⅱ)求u使得du=Pdx+Qdy．把φ，ψ的关系式代入并整理得 Pdx+Qdy=φ(y)dx
2
+x
2
dφ(y)+ψ(y)d(2x)+2x[y
2
一φ(y)]d)， =d[x
2
φ(y)]+ψ(y)d(2x)+2xdψ(y) =d[x
2
φ(y)+2xψ(y)]．
【答案解析】