解答题
2.设f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲线y=f（x）与x轴所围封闭图形的面积。
【正确答案】因为t|t|为奇函数，可知其原函数
f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt
为偶函数，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）与x轴有交点（—1，0），（1，0）。
又由f'（x）=x|x|，可知x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）单调减少，从而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；当x＞0时，f'（x）=x|x|＞0，故x＞0时f（x）单调增加，且y=f（x）与x轴有唯一交点（1，0）。
因此y=f（x）与x轴交点仅有两个。
所以封闭曲线所围面积
A=∫—11|f（x）|d=2∫—10|f（x）|dx。
当x＜0时，f（x）= ∫—1xt|t|dt=∫—10一t2dt=
（1+ x3），故
A=2∫—10
（1+x3）dx=
f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt
为偶函数，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）与x轴有交点（—1，0），（1，0）。
又由f'（x）=x|x|，可知x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）单调减少，从而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；当x＞0时，f'（x）=x|x|＞0，故x＞0时f（x）单调增加，且y=f（x）与x轴有唯一交点（1，0）。
因此y=f（x）与x轴交点仅有两个。
所以封闭曲线所围面积
A=∫—11|f（x）|d=2∫—10|f（x）|dx。
当x＜0时，f（x）= ∫—1xt|t|dt=∫—10一t2dt=
（1+ x3），故A=2∫—10
（1+x3）dx=【答案解析】