问答题 设A为n阶正定矩阵，α 1 ，α 2 ，…，α n 为n维非零列向量，且满足α i T A -1 α j =0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关．
【正确答案】正确答案：设存在数k 1 ，k 2 ，…，k n ，使得 k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k n α n =0． 上式两端左边乘α i T A -1 ，由α i T A -1 α j =0(i≠j；i，j=1，2，…，n)，可得 k i α i T A -1 α i =0(i=1，2，…，n)． 因A为正定矩阵，则A -1 也为正定矩阵，且α i ≠0，故α i T A -1 α i >0．于是，k i =0(i=1，2，…，n)．所以向量组α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关．
【答案解析】