单选题
一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为λ＞0的指数分布．当三个元件都无故障工作时，线路工作状态正常，试求电路正常工作时间T的分布函数．
【正确答案】正确答案：设第i个元件正常工作时间为X
i
(i=1，2，3)，则X
i
的分布函数为
又设电路正常工作时间T的分布函数为G(t)，依题设，有T=min{X
1
，X
2
，X
3
}． 于是，当t≤0时，G(t)=P{T≤t}=0； 当t＞0时，G(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t} =1－P{min{X
1
，X
2
，X
3
}＞t} =1－P{X
1
＞t，X
2
＞t，X
3
＞t} =1－P{X
1
＞t}P{X
2
＞t}P{X
3
＞t} =1－e
－3λt
． 因此
又设电路正常工作时间T的分布函数为G(t)，依题设，有T=min{X
1
，X
2
，X
3
}． 于是，当t≤0时，G(t)=P{T≤t}=0； 当t＞0时，G(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t} =1－P{min{X
1
，X
2
，X
3
}＞t} =1－P{X
1
＞t，X
2
＞t，X
3
＞t} =1－P{X
1
＞t}P{X
2
＞t}P{X
3
＞t} =1－e
－3λt
． 因此
【答案解析】解析：本题是以正常工作时间为随机变量的系统可靠性的问题，与系统结构有关．若设第i个元件正常工作时间为X
i
，则在串联的情况下，只要有一个元件有故障，线路工作状态就不正常，系统工作时间为T=
{X
i
}．在并联的情况下，只要有一个元件无故障工作，线路工作状态就正常，系统正常工作时间为T=
{X
i
}． 计算T=
{X
i
}的分布函数，就是计算概率P{T≤t}，当t＞0时，P{T≤t}=1－P{
{X
i
}．在并联的情况下，只要有一个元件无故障工作，线路工作状态就正常，系统正常工作时间为T=
{X
i
}． 计算T=
{X
i
}的分布函数，就是计算概率P{T≤t}，当t＞0时，P{T≤t}=1－P{