问答题
设A是三阶矩阵，b=[9，18，-18]
T
，方程组AX=b有通解k
1
[-2，1，0]
T
+k
2
[2，0，1]
T
+[1，2，-2]
T
，其中k
1
，k
2
是任意常数，求A及A
100
．
【正确答案】
【答案解析】[解] 方法一 由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是ξ
1
=[-2，1，0]
T
，ξ
2
=[2，0，1]
T
，即ξ
1
，ξ
2
是A的对应于λ=0的两个线性无关特征向量，又η=[1，2，-2]
T
是AX=b的特解，即有
知ξ 3 =[1，2，-2] T =η是A的对应于λ=9的特征向量，取可逆阵P=[ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 ]，则得
P -1 AP=Λ，
A=PΛP -1 ，
其中
因
故(1)
或(2)
方法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵A 3×3 ．
因对应齐次方程组AX=0有通解为k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 =k 1 [-2，1，0] T +k 2 [2，0，1] T ，故r(A)=1．
可设方程组为
ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，
将ξ 1 ，ξ 2 代入，则有
得c=-2a，b=2a，故方程组为
a(x 1 +2x 2 -2x 3 )=0．
对应的非齐次方程组为
将特解η=[1，2，-2] T 代入得k 1 =1，k 2 =2，k 3 =-2．故得对应矩阵
再求A 100 ．(见方法一(1))
或因 Aξ 1 =0，故A 100 ξ 1 =0；
Aξ 2 =0，故A 100 ξ 2 =0．
Aη=9η，故A 100 η=9 100 η．
故
知ξ 3 =[1，2，-2] T =η是A的对应于λ=9的特征向量，取可逆阵P=[ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 ]，则得
P -1 AP=Λ，
A=PΛP -1 ，
其中
因
故(1)
或(2)
方法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵A 3×3 ．
因对应齐次方程组AX=0有通解为k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 =k 1 [-2，1，0] T +k 2 [2，0，1] T ，故r(A)=1．
可设方程组为
ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，
将ξ 1 ，ξ 2 代入，则有
得c=-2a，b=2a，故方程组为
a(x 1 +2x 2 -2x 3 )=0．
对应的非齐次方程组为
将特解η=[1，2，-2] T 代入得k 1 =1，k 2 =2，k 3 =-2．故得对应矩阵
再求A 100 ．(见方法一(1))
或因 Aξ 1 =0，故A 100 ξ 1 =0；
Aξ 2 =0，故A 100 ξ 2 =0．
Aη=9η，故A 100 η=9 100 η．
故