问答题
在椭圆
【正确答案】正确答案：过椭圆上任意点(x
0
，y
0
)的切线的斜率y'(x
0
)满足
分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：
于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为 S(x
0
)=
问题是求：S(x)=
πab(0＜x＜a)的最小值点，其中y=
，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x
2
(a
2
一x
2
)在团区间[0，a]上的最大值点． 由f'(x)=2x(a
2
—2x
2
)=0(x∈(0，a))得a
2
—2x
2
=0，x=x
0
=
．注意f(0)=f(a)=0，f(x
0
)＞0，故x
0
=
是f(x)在[0，a]的最大值点．因此
为所求的点．
分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：
于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为 S(x
0
)=
问题是求：S(x)=
πab(0＜x＜a)的最小值点，其中y=
，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x
2
(a
2
一x
2
)在团区间[0，a]上的最大值点． 由f'(x)=2x(a
2
—2x
2
)=0(x∈(0，a))得a
2
—2x
2
=0，x=x
0
=
．注意f(0)=f(a)=0，f(x
0
)＞0，故x
0
=
是f(x)在[0，a]的最大值点．因此
为所求的点．
【答案解析】